「やまなお」とか「やますぐ」ではありません。
山直中町（やまだいなかまち）
山直と書いて「やまだい」と読みます。いや、読めません。無理です。
普通に想像しても「直」が「だい」になる読みはそうそうありません。
そのためか、近くにある会社の看板にもちゃんとふりかなが振られています。やっぱり地元でもすこし離れた場所の人だと、もう、読めないのではないでしょうか。
地名は、どうも人名由来のようで、この地方に山直の姓を名乗る人物がいたようです。
現在も同姓の方はいらっしゃるようですが、かなり希少姓ではないかと思います。