一般的にはあまり良い意味には使わないのですが。
釣天狗
深山に棲む妖怪である天狗。赤い顔と高い鼻で山伏姿で、山の中で起こる不思議な出来事は天狗の仕業だと言われています。代表的なものが天狗礫（てんぐつぶて）と呼ばれる現象で、石のようなものがどこからともなく降ってきたり飛んでくるのですが、石そのものは見えないという不思議な現象です。
他にも天狗倒しと呼ばれる山中で樹の倒れる音がして地響きまでするのですが、どこにも樹は倒れていない現象もあります。
斯様に不思議な現象の主として指される事が多い天狗ですが、逆の意味に使われる場合もあり、それが「天狗になる」の用法での意味です。
この店の屋号である「釣天狗」はその用法の１つで、釣自慢で自惚れた状態を指し、たいていはすでに周囲から顰蹙を買っているような状態になってしまっている様を示します。
まあ、ちゃんと釣果があがって、外道を釣らず、目的の魚をきっちり吊り上げているのであれば木を言う筋合いは無いんですけどね。もっとも自慢をたらたら聴かされたら溜まったものではありません。その自慢がなければ「釣天狗」と呼ばれる事は無いでしょうにねぇ。